随机热力学

随机热力学笔记

这里是随机热力学的笔记，主要参考书是 Luca Peliti 的 Stochastic Thermaldynamics。这是一门使用随机过程/随机分析的手段研究能级差与$k_B T$可以比拟的介观系统的学科。

• Day 3：轨道上的可观测量——随机热力学中基本物理量的定义 Day 3 在这一节中，我们沿着轨道定义了熵产生、外界对系统做功和系统对热库所放之热等宏观热力学量，并且计算了被主方程和Fokker-Planck方程控制的系统的熵产生。

• Day 4：光阴的故事——热力学涨落关系 Day 4 在这一节中，我们指出了随机热力学中最重要的定理之一：熵是轨迹可逆性的量度，轨道的熵产生可以使用该轨道正向“出现“和反向“出现”的概率之比表达，基于此，我们给出了积分涨落关系和精细涨落关系，并说明了这些涨落关系对被主方程/FP方程控制的系统都是适用的。通过将真实的反向过程换成合适的参考过程，我们可得到更多宏观可观测量的涨落关系（随机热力学中很大一部分是围绕这些涨落关系发展的）。除此之外，我们讨论了熵产生的管家-奢侈分解，给出了通过拟设生成函数来解析求解Toy Model的分布演化的小例子。

• Day 5：热机以负熵为食——随机热力学与信息论 Day 5 在这一节中，我们讨论了诸如“麦克斯韦妖/西拉德引擎”等通过利用系统的信息，从单一热源提取能量对外做功的“信息引擎”。通过引入基于测量结果的反馈控制，我们说明了通过精确的测量（增加测量设备与系统的互信息）可从系统中提取出高于自由能变的功，导出了关于反馈控制的涨落关系。我们说明了一般的热机向低温热源放热的行为可以被泛化为热机从一个“信息库”中抽取负熵，并且给出了与热库、信息库同时接触的系统的一般建模。

• Day 6：“百年不遇”的量化——大偏差理论 Day 6 在这一节中，我们讨论了用于研究稀有事件的大偏差理论，计算了特定可观测量的速率函数，并给出了“Tilting/倾斜”等用于计算Scaled CGF和速率函数的技巧。通过将大偏差原理对随机变量尾部分布的描述代入精细涨落关系中，我们将得到对速率函数或者随机变量的累积生成函数的约束。

• Day 8：勇敢的少年啊，快去创造奇迹！——随机热力学的未来发展 Day 8 这一节通过几个小专题，讨论了随机热力学发展的较前沿领域。例如随机热机的熵效率、可观测量的不确定性关系（进阶的涨落关系，使用熵产生来Bound其他流量的涨落）、最小耗散控制、鞅论的应用等等。

下面的这一套笔记来自课程 Nonequilibrium Field Theories and Stochastic Dynamics, Prof. Erwin Frey, LMU Munich, Summer Semester 2025 ：

• Ep.1：离散状态空间中的随机过程 Ep.1

• Ep.2：连续状态空间中的随机过程 Ep.2